「美しさ」の秘訣～黄金比ってなに？～

今回は「学問案内」から少し離れ、日々の勉強がちょっと楽しくなるお話をお届けします。

みなさん、美術における「黄金比」という言葉を聞いたことがあるでしょうか？

たとえば、
レオナルド・ダ・ヴィンチ　作『モナ・リザ』
葛飾北斎 作　『冨嶽三十六景　神奈川沖浪裏』
これらの作品はとても美しい構図であるとして有名です。
また、パルテノン神殿をはじめ、建築分野にも多く利用されています。
現代でもアートデザインの世界では欠かせない「美の法則」
その美しさの秘訣が「黄金比」というものです。

▼　葛飾北斎 『冨嶽三十六景　神奈川沖浪裏』　
　　海外の画家にもインスピレーションを与えたとして有名です。
　　波の形や全体の構図に黄金比が使われています。

引用：東京富士美術館

実は、この「黄金比」というのは数学と深いつながりがあります。
今回は「黄金比」についてご紹介します。

　黄金比の紹介

・そもそも黄金比ってなに？
・どうして　1 : (1+√5) / 2　になるの？
・1 : (1+√5) / 2　ってだいたいどれくらい？

・そもそも黄金比ってなに？

黄金比とは特殊な線分比としてあらわすことができます。
ある線分をa:bに内分 (=内側に点を打って分割) し、a : b = b : (a+b) となるのが「黄金比」です。

▼　黄金比の線分。外中比とも呼ばれるそうです。
　　※ちょうどいい画像素材がないためマウス作図でお届けします。

これを満たすのが　1 : (1+√5) / 2 と言われています。

・どうして　1 : (1+√5) / 2　になるの？

さて、比例式の性質を覚えていますか？

例えば

3 : 2 = 9 : x
　
という式が出てきたとき、

3x=2×9

という風に　外側×外側＝内側×内側　という式が成り立ちます。
これを解くと

3x=2×9　
x=18 　となりますね。

同じように、先ほどの黄金比を比例式で表してみます。

a : b = b : (a+b)

これを先ほどと同様に　外側×外側＝内側×内側　で表し、整理していきます。

a(a+b)=b²
a²+ab=b²
a²+ab-b²=0

ここで仮にa=1としてbの値を求めてみましょう。

1²+b-b²=0

この式を並びかえると

-b²+b+1=0

b²についている負の記号（係数：-1)が邪魔なので、全体に-1をかけます。

すると

b²-b-1=0

ここで役に立つのが中学校3年生で習う2次方程式の「解の公式」です。

解の公式に当てはめることで、bの値が求められます。

　▼ 2次方程式の解の公式